坐标变换

马同学

坐标变换

已知 $P$ 为由基 $\mathcal{M}=\{\boldsymbol{m_1},\boldsymbol{m_2},\ldots,\boldsymbol{m}_s\}$ 到基 $\mathcal{N}=\{\boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2},\ldots,\boldsymbol{n_s}\}$ 的过渡矩阵：

$(\boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2},\ldots,\boldsymbol{n_s})=(\boldsymbol{m_1},\boldsymbol{m_2},\ldots,\boldsymbol{m_s})P$

又知向量 $\boldsymbol{x}$ 在基 $\mathcal{M}$ 下的坐标为 $[\boldsymbol{x}]_\mathcal{M}$ 以及在基 $\mathcal{N}$ 下的坐标为 $[\boldsymbol{x}]_\mathcal{N}$ ，则有坐标变换公式（Change of coordinates formula）：

$[\boldsymbol{x}]_\mathcal{N}= P^{-1}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{M},\quad [\boldsymbol{x}]_\mathcal{M}= P[\boldsymbol{x}]_\mathcal{N}$

基变换和坐标变换的区别在于，前者是右乘过渡矩阵 $P$ ，后者是左乘 $P^{-1}$ ：

$(\boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2},\ldots,\boldsymbol{n_s})=(\boldsymbol{m_1},\boldsymbol{m_2},\ldots,\boldsymbol{m_s})P,\quad [\boldsymbol{x}]_\mathcal{N}= P^{-1}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{M}$

尤其注意到，由基 $\boldsymbol{m_1},\boldsymbol{m_2},\ldots,\boldsymbol{m}_s$ 到基 $\boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2},\ldots,\boldsymbol{n_s}$ 的过渡矩阵为 $P$ ，而用来坐标变换的是逆矩阵 $P^{-1}$ ：