只有函数，有反函数：
同样的道理，只有矩阵函数为双射时才有反函数，所以根据有：当为时，对应的为，此时存在反函数，称为可逆。其反函数记作，称为的逆矩阵。
比如，下面是某，在它的作用下矩形变为了平行四边形：
而在它的反函数，或者说逆矩阵的作用下，图形又变回了原来的样子，这就是逆矩阵的几何意义：
如果不是，在它的作用下矩形变成了线段，信息丢失了没有办法变回原来的矩形了（就好像易拉罐被踩扁了，没法复原了），所以没有逆矩阵：
之前学习过的，在它的作用下，图形不会发生变化：
因此，和、的复合的效果是相同的，即有：
这实际上是逆矩阵的定义：
若存在两个阶、，两者的乘积为阶：
那么就是的逆矩阵，即有，且是唯一的。
这是逆矩阵的定义，本身不存在什么需要证明的。这里证明下是可逆的以及是唯一的。 （1）证明是可逆的。首先有条件：
根据的性质：
即：
又因为均为阶方阵，因此
可以得到：
因此均是，根据逆矩阵的存在性可知，两者都是可逆的。
（2）证明是唯一的。假设有、使得：
那么有：
所以，是唯一的。
如果可以通过一系列，将矩阵变换成，则的逆矩阵就是这些的乘积：
都是，所以都是可逆的，所以有：所以：
也就是说有：
符合逆矩阵的定义，因此。
初等变换求逆矩阵需要分成两步：
有一种方法可以将这两步合在一起进行：
首先将矩阵和合成一个矩阵，然后对新矩阵进行。这样就可以在得到的同时，得到：
这称为。
假设，那么实际上是将之前的两步同时完成了：
