设
是
阶
，
为非零向量，若存在数
使得下式成立：
那么称数称为的特征值（Eigenvalue），非零向量称为的对应于的特征向量（Eigenvector）。
这里需要强调一下，上述的数可以是复数，不过在本课程中只讨论实数的情况。
一般情况下，经过线性映射后，方向会发生改变：
不过对于特征向量而言，在线性映射后其方向不会发生改变，只是发生伸缩了对应的特征值倍：
求解步骤还是比较简单，就是通过解下列方程组来求出：
更具体的步骤是，先通过第一个式子求出：
然后将代入求出该的：
该必然为，因为其中都是为的（除外），所以也称为为的特征空间（Eigenspace）。
假设：
那么可以写作：
其中展开后就是关于的多项式，所以称为特征多项式（Characteristic polynomial）：
进而被称为特征方程（Characteristic equation）。
已知是阶相异的，以及是对应的，则。
用数学归纳法证明： （1）当时，因，此时。
（2）假设时，按照归纳法，如果再往里面添加新的依然，那么结论就成立。
假设添加后，那么可被该中的其它给，即有：
式两侧同时乘上可得：
式两侧乘上后减去式可得：
因为，所以上式的系数全为 0；又因为互异，所以全不为 0，所以必然有，那么根据可得，这与是的假设矛盾，所以必然。
