对角化

如果,那么如下矩阵:

可以使得:

其中为如下

其中的对应的,该过程称为对角化(Diagonalizable)。

已知:

根据以及,可得:

,上式可以改写为:

因为,所以,因此可以给上式两侧同时右乘,得:

除了

因为,所以它是的另外一个

那么上面提到的就是由。所以根据之前学习的,对角化实际上是将下的转为了下的

1 举例说明

举一个例子来进一步说明下求解的过程:

        (1)先求出为:

因为,根据,所以肯定,所以是可以对角化的。

        (2)然后构造:

就可以完成对角化了:

其中就是由构成的:

        (3)注意,对角化的结果并不唯一。如果像下面这样构造:

那么需要修改下

也可以使得成立。

2 计算

还是上面提到的,可以看到很不好计算:

不过像上面一样将的对角化后,即:

那么:

次方是很好计算的,所以:

或者从的角度来理解,通过将下的转为了下的,从而将问题简化了:

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