（1）先证明，“当定义域为向量空间时，其值域也为向量空间”。假设定义域为向量空间，由，那么定义域中的任意向量可以表示为：

因为矩阵函数是，所以有：

所以，值域为的张成空间，也为向量空间。

        （2）再证明，“定义域的维度 ≥ 值域的维度”。已知定义域是基的张成空间，所以定义域的维度为。上面又证明了值域是向量组的张成空间。所以，当该向量组时，值域的维度为；当该向量组，值域的维度小于。就是说始终有：