给定一个定义在区间上的函数列，由这个函数列构成的表达式：
叫做 函数项无穷级数 （Infinite series with function terms），简称为 函数项级数 （Series with function terms），记为，即：
其中第项叫做级数的 通项 （General term）。
对于定义于区间上的函数项级数，代入某就得到如下的：
对于上述，
函数项级数的收敛点的全体称为它的 收敛域 （Domain of convergence），而发散点的全体称为它的 发散域 （Domain of divergence）。
代入收敛域内的任意一个数，函数项级数成为一收敛的，因而有一确定的。这样在收敛域内，函数项级数的和是的函数，通常称其为函数项级数的 和函数 （Sum function of a series），该函数的定义域就是函数项级数的收敛域，即：
函数项级数的前项的部分和记作，则在收敛域上有：
记，叫做函数项级数的 余项 （remainder term），则在收敛域上有：
举例说明下上述的三个定义，之前分析过的敛散性及和，即，如果将其中的公比看作未知数，那么就得到了一个函数项级数：
还可以得到该函数项级数的收敛域，即，以及其和函数：
值得注意的是，虽然函数的定义域为，但当它作为和函数时，我们只关心它在收敛域内的部分，即的这部分，如下图所示。
这是因为超出收敛域后和函数就没有什么实际意义了。比如在中代入，可得公比为的。因为，所以是该函数项级数的收敛点，此时的和为，即：
而在中代入，可得公比为的，因为，所以是该函数项级数的发散点，虽然有，但已经没有实际意义了：
再来说说部分和函数：
随着的增加，在收敛域内会越来越接近，如下图所示。当时，在收敛域内会有。
最后来看看余项，这也是定义在收敛域上的：
余项的几何意义就是与之间的差值函数，如下图所示。
