如果收敛于和，那么也收敛，且和为。
设的为，的为，那么：
根据，所以：
这就表明也收敛，且和为。
之前介绍过，由等腰三角形构造的收敛于圆的面积，如下图左侧所示。那么上述性质说的就是，这些等腰三角形（包含中心的正方形）的面积都缩放倍的话，那么就收敛于缩放了倍圆的面积，如下图右侧所示。
如果和分别收敛于和，那么也收敛，且和为。
设和的分别为与，的为，那么：
根据，所以：
这就表明也收敛，且和为。
假设收敛于圆的面积，而收敛于另外一个圆的面积，那么上述性质说的就是，收敛于这两个圆面积之和（差）。
在中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。
设的为，将该级数的前项去掉，新级数的为：
根据，所以：
这就表明去掉前项的依然收敛，其他的情况类似可证。
在中去掉、加上或者改变有限项，相当于该加减上某个常数，如下图所示，所以显然是收敛的，这就是上述性质所描述的。
如果收敛，那么对该级数的项任意加括号后所成的级数：
依然收敛，且其和不变。或者可以简单表示为：
设级数的为，加括号后所成的级数所成的为，则：
可见是的，根据题意可知是的，结合上，所以必然收敛，且有：
即加括号后所成的级数收敛，且其和不变。
上述性质有点像加法结合律：
但又不完全一样，比如下面这个级数是收敛于零的：
但去掉括号后的级数却是发散的，也就是说任意去括号是不行的：
如果，则其趋于零，即：
设的为，且，则：
上述性质很好理解，如果不为无穷小，哪怕非常小，比如：
那么无数个这样的累加起来，依然会得到无穷大，也就是说此时的是的。
值得注意的是，上述性质只是级数收敛的必要条件。可以推出，但不能反过来推，即：
比如，显然其满足，但调和级数是的。
