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傅里叶级数

1 傅里叶级数
设是周期为的函数，如果有：

其中、称为函数的 傅里叶系数 （Fourier coefficients），它们的计算公式如下：

则上述三角级数就称为函数的 傅里叶级数 （Fourier series）。

 （1）证明三角函数的正交性，即证明有：

上述结论不一一证明了，这里验证下其中的第四个等式。利用下列的积化和差的公式：

当时，有：

        （2）求出傅立叶级数中的系数和。假设下式是成立的，即有：

先求系数。在上式的左右两侧同时积分可得：

根据（1）中给出的三角函数的正交性，上式右端除了第一项外，其余各项均为零，所以可得：

再求系数。用乘以式两侧可得：

在上式的左右两侧同时积分可得：

根据（1）中三角函数的正交性，上式右端除了的一项外，其余各项均为零，所以：

最后求系数。用乘以（1）式两侧再左右两侧同时积分，可得：

根据（1）中三角函数的正交性，上式右端除了的一项外，其余各项均为零，所以：

        （3）综上，可得：

其中也包括了的计算方法。
2 傅立叶级数的收敛定理

上述定理解释了如何展开为傅里叶级数，但需要满足的条件有哪些呢？下面这个定理回答了这个问题：

设是周期为的函数，如果它满足：

（1）在一个周期内连续，或只有有限个，

（2）在一个周期内至多只有有限个，

那么的傅立叶级数收敛，并且：

  • 当是的时，级数收敛于
  • 当是的时，级数收敛于

该定理就是 傅立叶级数的收敛定理 ，或称为 狄利克雷充分条件 （Dirichlet–Jordan test）。
3 正弦级数和余弦级数
对于周期为的函数而言，
  • 当为奇函数的时候，其为：

    所以此时是只含有正弦项的 正弦级数

  • 当为偶函数的时候，其为：

    所以此时是只含有常数项和余弦项的 余弦级数

（1）当为奇函数时，那么是奇函数，所以关于原点对称；而是偶函数，所以关于轴对称。所以有：

根据，所以此时有：

        （2）当为偶函数时，那么是偶函数，所以关于轴对称；而是奇函数，所以关于原点轴对称。所以有：

根据，所以此时有：
4 一般周期函数的傅里叶级数
设周期为的周期函数满足，则可将其展开为如下的

其中：

当为奇函数时，有：

其中：

当为偶函数时，有：

其中：

 作变量变换，于是区间就变换成。设函数，从而是周期为的周期函数，并且满足，所以可将展开成，即：

其中：

代入，并注意到，可得：

以及：

类似的，可以证明定理的其余部分。
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