形式如下的，称为（a power series centered at 0），其中常数、、、、、叫做 幂级数的系数 （Coefficients of the power series）：
而形式如下的函数项级数，称为（a power series centered at a）：
上述两种统称为 幂级数 （Power series）。
幂级数是中最常见的一类，上一节提到的就是中心点在点的幂函数。中心点在点的意思是，比如的收敛域是，该收敛域就是以点为中心对称的，如下图所示。
而对于，其收敛域为（该收敛域可通过换元推出），该收敛域就是以点为中心对称的，如下图所示。
在提到“中心点在点”或“中心点在点”，也就是的是关于点或关于点对称的，这都因为存在下面这个定理：
对于，（1）若（）时收敛，那么当时，该幂级数；
（2）若时，那么时，该幂级数。
该定理称为 阿贝尔定理 （Abel's theorem）。
（1）若（）时，即收敛，根据，此时有：
根据，所以，使得：
从而有：
因为当时，收敛，根据，所以级数，所以。
（2）已知时，即，可用反证法来证明。假设存在某点，该点满足且有收敛，那么根据（1）中所得结论，当时应该收敛，这与条件矛盾，所以得证。
上述阿贝尔定理说的是，对于而言，该幂级数在点收敛时，那么也在以为中心、为半径的区间上收敛，如下图左侧所示。而如果该幂级数在点发散时，那么也在以为中心、为半径的区间外发散，如下图右侧所示。这两幅图中都假设，需要强调一点的是，其中点的敛散性是不清楚的。
对于中心点在点的也有类似的结论，该幂级数在点收敛时，那么也在以为中心、为半径的区间上收敛，如下图左侧所示。而如果该幂级数在点发散时，那么也在以为中心、为半径的区间外发散，如下图右侧所示。
的敛散性有三种可能性：（1）存在一个正数，使得当时，该级数；当时，该级数；在端点和处，该级数可能收敛也可能发散；
（2）该级数对一切都收敛，规定此时的。
（3）该级数只在处收敛，规定此时的。
上述的统称为 收敛半径 。
上述定理是阿贝尔定理的直接推论。让我们以某为例解释其中的可能性（1），设该幂级数在数轴上既有（不光是原点）也有，那么从原点出发沿数轴向右走，最初遇到的全是，然后就只遇到，这两种点之间会存在一个分界点，如下图所示，分界点和原点的距离就是收敛半径。
对于，如果：
那么该幂级数的为：
考察该幂级数的绝对值级数，此绝对值级数相邻两项之比为：
下面来分情况讨论。
（1）如果存在，那么有：
根据，当时，即时，绝对值级数，即幂级数。而当时，即时，绝对值级数发散，并且根据：
结合上，可推出，时有：
因此不趋于零，从而也不趋于零，根据，因此幂级数发散，所以其为。
（2）如果，那么对于任何，有：
根据，所以绝对值级数，即幂级数，于是。
（3）如果，那么对于除外的一切值有：
根据，对于某，，时有：
因此不趋于零，从而也不趋于零，根据，所以幂级数发散，于是。
之前学习过对应的的为，也就是说该级数的。根据上述定理也可以求出同样的结果：
顺便解读下的几何意义，和之前解读过的为非常类似。我们知道的和函数为，那么在以为中心、为半径的区域内，当会有，如下图所示。
