交错级数及其审敛法

马同学

1 交错级数

如果某的各项总是正负交错的，从而可以写成下面的形式：

其中，则该级数称为交错级数（Alternating series）。

下面就是交错级数的一个例子，该交错级数也是人类历史上第一次给出了圆周率的精确代数式，称为 π的莱布尼茨公式（Leibniz formula for π）：

容易理解，交错级数不光各项是正负交错的，如果该级数收敛的话，其也会围绕着该级数的和交错震荡。比如上面提到的的莱布尼茨公式，其部分和会围绕着上下交错震荡，如下图所示。

2 莱布尼兹审敛法

如果满足条件：

那么该级数收敛，且其和，其余项的绝对值，该定理称为莱布尼兹审敛法（Leibniz's test）。

（1）先证明前项的和的极限存在。可写作：

根据可知，上式括号中的差都是非负的，因此是的。再将进行改写：

上式说明，因此。根据可知收敛于某数，且，即：

（2）再证明前项的和的极限也是。我们知道，结合上，因此：

级数的前偶数项之和以及前奇数项之和都趋于同一个极限，而级数的或者为前偶数项之和，或者为前奇数项之和，所以有：

（3）最后来看看余项，所谓其实就是和的差值，即：

其绝对值也是一个交错级数，根据（1）、（2）的分析可知。

上述定理还可以通过几何来理解。设某满足上述定理的所有条件，下面来观察一下该级数是如何收敛于和的。让我们从开始，往右移动就得到了第一个，如下图所示，再往左移动就得到了第二个，因为，所以不会小于。

接着往右移动就得到了，再往左移动可以得到，如下图所示。

因为，所以部分和会最终趋于，如下图所示。

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