如果对于某始终有，则该级数称为 正项级数 （Series with nonnegative terms）。
设正项级数的为，则：
这就是 正项级数收敛的充要条件 （Necessary and sufficient condition for convergence of series with nonnegative terms）。
（1）当收敛时，即存在时，根据，所以。 （2）当时，又正项级数满足，所以是，即有：
根据，所以存在，即收敛。
设和都是，如果有，那么：
这就是 正项级数的比较审敛法 （Comparison test of series with nonnegative terms）。
（1）当收敛于时，根据，可知其，即使得：
结合上条件中的，所以的满足：
即，根据，所以此时收敛。
（2）当发散时，用反证法，若收敛，那么根据（1）的结论，也要收敛，与（2）给出的条件矛盾，所以此时必发散。
设和都是（之前级数写作是为了和部分和进行区分，这里的证明不需要用到部分和了，所以就选择更常用的写法，也就是写作，后面会酌情混用这两种写法），（1）如果，则和同敛散；
（2）如果，而收敛，则收敛；
（3）如果，而发散，则发散。
这就是比较审敛法的极限形式，或叫做 极限比较审敛法 （Limit comparison test）。
（1）已知，由可知，因为，，，有：
根据，如果收敛，因为，所以收敛；如果发散，因为，所以发散。
（2）已知，由可知，，，有：
根据，如果收敛，因为，所以收敛。
（3）已知，根据，，，有：
根据，如果发散，因为，所以发散。
设是，并假定有：
那么：
（1）若，则该级数收敛；
（2）若或，则该级数发散；
（3）若，则该级数可能收敛也可能发散；
这称为 比值审敛法 （Ratio test），或者叫 达朗贝尔判别法 （D'Alembert's test）。
（1）当时，取一个适当小的正数，使得，因为，根据，所以，，有：
所以有：
上面一系列不等式的左右两边构成两个数列：
其中就是公比的，该级数是收敛的。因为，根据，所以也收敛。而和相比只是相差有限项，根据，所以也收敛。
（2）当时，取一个适当小的正数，使得，因为，根据，所以，，有：
所以当时，是逐渐增大的，从而。根据，所以是发散的。
类似的，也可以证明当时，级数是发散的。
（3）当时，比如级数有：
根据上一节的学习可知，级数在时收敛，在时发散，所以此时不能确定敛散性。
设是，并假定有：
那么：
（1）若，则该级数收敛；
（2）若或，则该级数发散；
（3）若，则该级数可能收敛也可能发散；
这称为 根值审敛法 （Root test），或者叫 柯西判别法 （Cauchy root test）。
（1）当时，取一个适当小的正数，使得，因为，根据，所以，，有：
因为是，其公比，所以该级数收敛。结合上，所以收敛。
（2）当时，取一个适当小的正数，使得，因为，根据，所以，，有：
从而。根据，所以是发散的。
类似的，也可以证明当时，级数是发散的。
（3）当时，比如级数有：
根据之前的学习可知，级数在时收敛，在时发散，所以此时不能确定敛散性。
