假设相互独立的随机变量都服从伯努利分布：
则它们的和服从二项分布：
直觉上不难接受，伯努利分布就是抛一次硬币，而二项分布就是抛次硬币，所以二项分布自然就是次伯努利分布的和，本身二项分布又叫作重伯努利。来看看是怎样的，这两者的和只能为，各自概率为：
综合起来就是：
这个结论可以推向个伯努利分布的和，可以使用之后介绍的二项分布的和来证明（伯努利分布是特殊的二项分布），大家可以自行证明。
假设相互独立的随机变量都服从二项分布：
则它们的和也服从二项分布：
这个也不违背直觉，代表扔次硬币，代表扔次硬币，自然就代表扔次硬币。下面用卷积公式来证明，可能取值为等个不同的值，所以：
在二项分布时，上式有些事件是不可能事件：
-
时，为不可能事件，所以只需要考虑
-
时，为不可能事件，所以只需要考虑
因此记：
则：
根据超几何分布可得：
所以代回可得：
设随机变量,且与独立，证明
证首先指出，可取 所有非负整数。而事件是如下诸互不相容事件
的并，再考虑到独立性，利用离散场合下的卷积公式可知，对任意非负整数 ，有
因此
这表明
假设相互独立的随机变量都服从几何分布，则它们的和服从负二项分布：
几何分布描述的是抛投多次硬币之后第一次出现正面，而负二项分布描述的是抛投多次硬币之后第次出现正面，所以这个性质可以用下面一幅图进行说明：下面来证明，先假设有随机向量、，分别服从：
将两者相加：
得到这个结论之后就可以证明（对于，当时得到的就是，也就是说几何分布是特殊的负二项分布）：
假设相互独立的随机变量都服从正态分布：
则它们的和也服从正态分布：
利用卷积公式可得：
其中，把指数部分单独进行运算：
其中：
代回可得：
上面积分符号内的部分，可以看作另外一个正态分布的PDF的一部分，根据正态分布的正则性，可以得到这个积分值为：
最终整理得到：
