设函数在有定义，如果该函数有下列三种情形之一：（1）在点没有定义；
（2）虽在点有定义，但不存在；
（3）虽在点有定义，且存在，但；
那么称函数在点 不连续 ，点称为函数的 不连续点 或 间断点 。
设为函数的间断点，如果左极限以及右极限都存在，则称为函数的 第一类间断点 ；其余的就称为 第二类间断点 。
举例说明一下上述两个定义。如下图左侧所示，因为函数在点没有定义，所以点是该函数的间断点；若将点处对应的空心点填补上那么该函数对应的曲线就连续了，所以点也称为该函数的 可去间断点 。又如下图右侧所示，其中的函数，因为不存在，所以点是该函数的间断点；同时点也很形象地称为该函数的 跳跃间断点 。这两种间断点的左、右极限都存在，所以是第一类间断点。
再如下图左侧所示，因为正切函数在点没有定义，所以点是该函数的间断点；又因为，所以点两侧的函数图像都趋于无穷大，所以点也称为该函数的 无穷间断点 。最后如下图右侧所示，因为函数在点没有定义，所以点是该函数的间断点；又因为点两侧的函数图像在不断震荡，所以点也称为该函数的 震荡间断点 。这两种间断点都不是第一类间断点，所以是第二类间断点。
请分析函数的连续性、间断点，并判断间断点的类型。
改写函数后可得，容易知道其在且时有，因此函数是上的连续函数。因为函数在或时没有定义，所以以及是函数的间断点。且：
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，所以是第一类间断点，并且是可去间断点
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，所以是第二类间断点，并且是无穷间断点
函数的图像如下图所示。
