设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的正向符合右手规则，若函数、与在曲面（连同边界）上具有一阶连续偏导数，则有：
上述公式称为 斯托克斯公式 （Stokes' theorem）。
（1）设为函数曲面的上侧，其有向边界的正向与的正向符合右手规则，即用右手除拇指外的四指顺着的方向握拳，右手大拇指所指的方向与的正向的指向相同，如下图所示，也称为的 正向边界曲线 。下图中还绘制出了在面上的投影；以及在面上的投影，这是的边界曲线，也是一条有向曲线。
下面开始证明，先说一下思路，首先只关注斯托克斯公式左侧的一部分，也就是只关注，把这个通过之前学习过的一些计算法转为，再转为，即：
然后依然上面的方法去处理注斯托克斯公式左侧的其余部分，就可以完成证明了。
下面来完成第一步，把转为。根据可知，存在：
然后要求的积分可以转为：
根据，得出的法向量为：
因为为函数曲面的上侧，观察上图可知其方向是往上翘的，而这里计算出来的法向量的分量为，这说明也是往上翘的，所以是曲面的方向，所以曲面的单位方向向量为：
所以有：
因为的，根据，所以：
上式将中的用代替了，得到，对其运用可得：
所以：
根据，所以有：
也就是有：
因为函数在曲线上点处的值与函数在曲线上对应的点处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在轴上的投影也一样，根据，所以有：
如果为函数曲面的下侧，那么上面的式子都要改变符号，所以依然有：
（2）如果对应的曲面不能通过函数来表示，那么可将分成有限个小曲面，使得每个小曲面都可以通过函数来表示，然后套用（1）中的式子计算并相加，将公共部分抵消后依然可以得到（1）中的结论。
（3）同样的道理可得：
综合起来可得斯托克斯公式：
斯托克斯公式实在有点难记，为了帮助记忆让我们引入向量函数：
以及引入三维的：
借助可得：
又，所以斯托克斯公式可以改写如下：
改写后的斯托克斯公式一方面更好记忆了，一方面意义也更很明显了。设在上定义有向量函数，其正向边界曲线上定义有向量函数，如下图所示。
那么斯托克斯公式说的就是，上的可通过其正向边界上的来计算，如下所示，所以我们也说斯托克斯公式是 曲面积分的基本定理 。
