举例说明一下上述定义，已知某光滑的有向曲面位于某向量场中，也就是说该曲面上的每个点都是可定向的，且该曲面上的点对应向量函数，如下图所示。

把任意分成个小曲面，观察其中第个小曲面，这也是可定向的有向小曲面，如下图所示。

在有向小曲面上任取一点，曲面在点有单位法向量，以及对应的向量，如下图所示，据此可作乘积。

将这个小曲面对应的乘积累加起来的结果是，当曲面被划分的越来越细时，也就是时，若该黎曼和的极限存在就得到了如下积分：

在上述定义中其实已经说清楚了和第二类曲面积分的关系了，即：

上式左侧可以解读为在曲面上的积分，而右侧可以解读为在有向曲面上的积分，即：

根据上述的和第二类曲面积分的关系，如果要计算，转为后再计算即可。

这里举例解释一下上述定理中的 反向曲面 ，比如下图左侧中的是有向曲面，那么下图右侧就是的反向曲面，也就是选择了相反的法向量进行定向。

上述定义看起来和之前给出的有向曲面的积分的定义天差地别，实际上两者是完全等价的，这里通过举例来说明一下。

先解释一下上述定义中提到的的投影，这是之前没有出现过的概念。把曲面任意分成个小曲面，观察第个有向小曲面及其在面的投影，如下图所示。

对及定向，因为投影为面上的平面，所以定其方向为，如下图所示，

设上各点处的方向向量为，若与的点积都有着相同的符号(对于光滑有向曲面而言，划分的足够小时总能做到这一点)，则规定为：

类似于，还可以规定以及，这里通过列表总结如下，

讲清楚了、以及的定义后，让我们接着理解上述定义。

之前介绍有向曲面的积分的定义时提到过，需要把任意分成个小曲面，然后在第个小曲面任取一点，也就是下图中的红点，再作出曲面在点有单位法向量，以及对应的向量，最后据此作乘积。

根据微积分一贯的思想，可用在点的切平面来近似小曲面，如下图所示。

也就是说有下面的约等式成立：

可以把看作一个向量，这就是之前在“”小节介绍过的可用来代表空间平面的向量，如下图所示，其方向为切平面的方向，其长度为切平面的面积。

引入是为了计算上的方便，具体来说就是，设切平面在面上的投影(之前说在面上的投影为，这是约等于在面上的投影的，因为后面还会还有取极限操作，所以这里可认为在面上的投影就是了)，其方向为；在面上的投影为，其方向为；在面上的投影为，其方向为，如下图所示。

根据在“”介绍过的的计算法可知，是由、和组成的，只是这三项前面的系数可能为、或者是，也就是说可能有：

也可能有：

还有很多别的情况。那么这三项前面的系数应该怎么确定呢？判定方法是这样的，

结合上之前对、以及的定义，所以有：

知道和、、的点积后，就可将上式展开为由、和组成的式子。

设向量场，则有：

从而有：

结合上有向曲面积分的定义，可得：

在这里定义下列积分：

那么当上述积分都存在时，则有：

上式又常常改写如下：

所以本节给出的“第二类曲面积分”的定义，或者说“对坐标的曲面积分”的定义，可以看作是对之前给出的有向曲面的积分的定义的改写，或者说给出了有向曲面的积分的各个分量的定义。

设有向光滑曲面是函数曲面的上侧，其在面上的投影为，其上定义有连续函数，如下图所示。

因为是的上侧，所以各个点的方向向量和的点积都大于，根据对坐标的曲面积分中给出的的定义，所以此时有，结合上，从而对坐标的曲面积分就可以如下转为：

如果是函数曲面的下侧，如下图所示。

因为是的下侧，所以各个点的方向向量和的点积都小于，根据对坐标的曲面积分中给出的的定义，所以此时有，结合上，从而对坐标的曲面积分就可以如下转为：

其余的以及以此类推，这里不再赘述。