还是从第二类曲线积分的严格定义说起：
设为面内从点到点的一条有向光滑曲线弧，函数、在上有界。在上沿的方向任意插入一点列、，、，把分成个有向小弧段：
设，，点为上任意取定的点，做乘积，并作和，如果当各小弧段长度的最大值时，这和的极限总是存在，且与曲线弧的分法及点的取法无关，那么称这此极限为函数在（Line integral of f along L with respect to x），记作。
类似的，如果总存在，且与曲线弧的分法及点的取法无关，那么称这此极限为函数在，记作（Line integral of f along L with respect to y）。即：
其中、叫做 被积函数 ，叫做 积分弧段 ，以上两个积分也称为 第二类曲线积分 （First form line integral）。
上述定义到底说的是什么？和上一节提到的向量场中粒子的运动有什么关系？下面就来解释一下。
研究粒子在力场中的运动，目的之一就是计算粒子从点运动到点这个过程中，力场对该粒子的做功。先简单地复习下高中物理中学习过的做功，如下图所示，在力的作用下木箱位移了，那么这个过程中的做功为两个向量的，即。
力场对粒子的做功在原理上是一样的，只是计算更复杂，先在上沿的方向任意插入一点列、，、，把分成个有向小弧段，如下图所示。
观察第个有向曲线弧，根据微积分的一贯思想，该有向曲线段可以用切向量段来线性近似，如下图所示。
设上某点的受力为，一般来说会假定函数和是的。则在上任取一点，该点对应向量为，如下图所示，可认为粒子从点运动到点受到的力基本上都是。
综合上面的两个近似，所以粒子从点运动到点的做功可近似为(下面计算结果可这么解读，的水平分力为，所以在水平方向的做功为；同理在竖直方向的做功为，那么的做功就是这两个方向做功之和)：
用同样的方法分别算出粒子经过这个有向小弧段时的做功，并累加起来就得到如下的：
当有向光滑曲线弧被划分的越来越细时，也就是时就得到了如下积分，也就得到了粒子从点沿运动到点的做功：
根据上式，结合上物理知识可知，第二类曲线积分中定义的计算的是在坐标方向上的做功，而计算的是在坐标方向上的做功，即：
所以第二类曲线积分又称为 对坐标的曲线积分 （Line integral of f along L with respect to x and y）。特别说明下，上述积分又常简写如下：
根据上式我们可以得出。
由对坐标的曲线积分的定义可知，它有以下性质：
-
-
积分区间的拆分：若有向曲线弧
可分为两段有向曲线弧
和
，则：
-
反向积分：设
是有向光滑曲线弧，
是
的反向曲线弧，则：
这里举例解释一下上述定理中的 反向曲线弧 ，比如下图左侧中的是有向光滑曲线弧，那么下图右侧就是的反向曲线弧。
设与在有向曲线弧上有定义且，的参数方程为：
当参数单调地由变到时，点从的起点沿运动到终点，若与在上具有一阶连续导数，且，则存在，且：
在上取一列点：
它们对应于一列的参数值：
依据，有：
由于，令，根据，所以存在使得：
又设点对应于参数值，即、，这里，所以：
由于函数在区间上连续，所以可以把上式的换成，从而：
上式等号的右侧就是函数在区间上的，因为该函数在区间上连续，所以该定积分是存在的，因此：
同理可证：
把以上两式相加，得：
上述定理可这么来记忆，将中所有的、替换为、即可：
如果曲线弧是由函数给出的，可将之视为特殊的参数方程，从变到，然后套用上述定理即可：
上述定理还可推广到空间曲线对应参数方程的情况，从变到，此时有：
关于上述定理还可以说的就是，其中的“、在具有一阶连续导数”表明是一条；以及该定理没有要求“”，这一点和不同。
