上述定理不做证明，这里借助下面的例子直观地说明一下。首先，该定理中的“函数在空间有界上连续”，这是存在的充分条件，类似于《马同学图解微积分·上》中学习过，也类似于。在该条件下，只需要对某一种划分、取点方式进行计算即可。

然后，该定理中的是一个柱体，如下图所示，其底部为曲面，其顶部为曲面，其在面上的投影为平面。这样的也常称为 类型 I 区域 （Type I Region）。

根据上一节的介绍，可看作求空间的质量，其中是的密度函数。按照微积分一贯的思想，可以划分后再求解，

        （1）先求出小线段的质量。比如在空间上任选一点，作出点对应的内的小线段，如下图所示。

观察小线段中长为的部分，其中心点的坐标为，如下图所示。

因为密度函数是连续的，又长为的线段足够短，所以可认为长为的线段的密度就是，所以其质量约等于，从而可通过积分算出小线段的质量，即：

        （2）再求出小柱体的质量。作出点附近的平面小区域及其对应的内的空间小区域，如下图所示。

可以用上、下底为、高为的小柱体来近似，如下图所示。

可认为该小柱体中的每条线的质量都约为的质量，所以上述小柱体的质量约为，所以空间小区域的质量可以近似如下：

        （3）算出。对进行划分，照（2）中的方法可得无数的空间小区域，将这些空间小区域的质量累加起来就得到了的质量，所以有：

上式最里面对积分的这部分，是将、看做定值，将看作的函数，其积分的结果是、的函数，即：

若是型区域，即：

此时可根据来计算在上的，这样就将化为先对、次对、最后对的 三次积分 （Integrate the function three times）：

若是型区域，或还需要划分、换元等，可以酌情处理，最后化为三次积分来完成计算。

除了上述类型 I 区域外，还有

• 类型 II 区域 （Type II Region），即，这是一个柱体，其底部为曲面，其顶部为曲面，其在面上的投影为平面，如下图左侧所示
• 类型 III 区域 （Type III Region），即，这是一个柱体，其底部为曲面，其顶部为曲面，其在面上的投影为平面，如下图右侧所示

类型 II 、类型 III 区域的计算和类型 I 区域类似，可自行举一反三，下面来看例题。