设、为常数，则有：以及通过两个性质可得：
下面举例说明下上述定理，首先是齐次性。下图中左侧的函数是右侧函数的倍，根据上述定理中的齐次性可知，同样以为底的情况下，左侧曲顶柱体的体积是右侧曲顶柱体的体积的倍。
再来说说可加性。已知在上的两个函数及，如下图所示。
那么根据二重积分的可加性，同样以为底的情况下，函数的曲顶柱体的体积，如下图所示，就是上面两个曲顶柱体的体积之和。
如果在上，为的面积，那么：
上述定理说明了，
设为某正实数，结合二重积分的齐次性以及上面的定理，可得：
上式的几何意义是，对于为底、高为的平顶柱体而言，有：
如果被有限条曲线分为有限个部分，那么上的等于各部分上的的和。
举例说明下上述定理，下图左侧所示的是以及其上的函数，而下图右侧将分为两个、。
根据上述定理，那么有：
在区域上，有,则有：
若满足,则有：
如果在上始终满足，那么有：
特殊的，由于有，所以有：
举例说明下上述定理，如下图所示，上始终有，从而同样以为底的情况下，左侧的体积小于右侧的体积。
上述几何意义可用不等式表示如下，这就是上述定理所阐述的内容：
设和是在上的和，是的面积，则有：
因为在上有，根据，结合上以及，可得：
举例说明下上述定理，如下图所示，其中标出了函数在上的和。
根据上述定理，同样以为底的情况下，函数对应的曲顶柱体（上图中的曲顶柱体）的体积，大于等于下图左侧中高为的平顶柱体的体积，小于等于下图右侧中高为的平顶柱体的体积。
设函数在上，是的面积，则在上至少存在一点，使得：
根据，在上的存在和。又根据二重积分估值的不等式，所以有：
显然，所以把上述不等式各除以，有：
上述不等式说明是介于和之间的值，根据，所以在上至少存在一点，使得：
举例说明下上述定理，因为函数在上，所以函数在上的存在和，如下图所示。
根据二重积分估值的不等式可知，同样以为底的情况下，有：
上述结论用代数式表示即为：
所以在和之间存在一个，如下图左侧所示。作以为底、高为的平顶柱体，如下图右侧所示，其体积和函数对应的曲顶柱体的体积相等，也就是有。
由于是介于和之间，根据，所以有，其中。
综上，所以有：
