二元函数极值的充分条件

马同学

1 海森矩阵

对二元函数运用两次，可得：

上述所得矩阵又称为海森矩阵（Hessian Matrix），又译作黑塞矩阵，常用来表示该矩阵：

之前解释过，类似于一阶导数，以此类推，上述定义的海森矩阵就类似于二阶导数。

不光是形式上类似，作用上也类似，在《马同学图解微积分·上》中学习过，二阶导数的正负可以决定，如下图所示。

说明函数是凹的

说明函数是凸的

类似的，当海森矩阵时，即且时，那么函数是凹的，如下图左侧所示；当海森矩阵时，即且时，那么函数是凸的，如下图右侧所示。

且时函数是凹的

且时函数是凸的

2 函数极值的充分条件

设函数在点的某内且有一阶及二阶的，其海森矩阵为：

如果又有：

那么：

（1）为极小值，当且(就是)；

（2）为极大值，当且；

（3）非极值点，当；

（4）无法判断是否为极值点，当。

上述定理不做证明，这里直观地解释一下。说明点是函数的一个，点对应的函数上的点在下图中用红点来表示

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