二元函数极值的充分条件

马同学

二元函数极值的充分条件

1 海森矩阵

定义 .对二元函数 $z=f(x,y)$ 运用两次雅可比矩阵，可得：
$\frac{\partial^2 z}{\partial(x,y)^2}=\frac{\partial }{\partial(x,y)}\left(\frac{\partial z}{\partial(x,y)}\right)=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}$
上述所得矩阵又称为海森矩阵（Hessian Matrix），又译作黑塞矩阵，常用 $H$ 来表示该矩阵：
$H=\frac{\partial^2 z}{\partial(x,y)^2}=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}$

之前解释过，雅可比矩阵类似于一阶导数，以此类推，上述定义的海森矩阵就类似于二阶导数。

不光是形式上类似，作用上也类似，在《马同学图解微积分·上》中学习过，二阶导数的正负可以决定函数凹凸性，如下图所示。

$f''(x) > 0$ 说明函数 $f(x)$ 是凹的

$f''(x) < 0$ 说明函数 $f(x)$ 是凸的

类似的，当海森矩阵正定时，即 $f_{xx} > 0$ 且 $|H| > 0$ 时，那么函数 $f(x,y)$ 是凹的，如下图左侧所示；当海森矩阵负定时，即 $f_{xx} < 0$ 且 $|H| > 0$ 时，那么函数 $f(x,y)$ 是凸的，如下图右侧所示。

$f_{xx} > 0$ 且 $|H| > 0$ 时函数 $f(x,y)$ 是凹的

$f_{xx} < 0$ 且 $|H| > 0$ 时函数 $f(x,y)$ 是凸的

2 函数极值的充分条件

定理（函数极值的充分条件）.设函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续的偏导数，其海森矩阵为：
$H=\frac{\partial^2 z}{\partial(x,y)^2}=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}$
如果又有：
$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$
那么：
（1） $f(x_0,y_0)$ 为极小值，当 $f_{xx}(x_0,y_0) > 0$ 且 $|H|_{(x_0,y_0)} > 0$ ( $|H|_{(x_0,y_0)}$ 就是 $|H|_{\begin{aligned}x=x_0\\y=y_0\end{aligned}}$ )；
（2） $f(x_0,y_0)$ 为极大值，当 $f_{xx}(x_0,y_0) < 0$ 且 $|H|_{(x_0,y_0)} > 0$ ；
（3） $f(x_0,y_0)$ 非极值点，当 $|H|_{(x_0,y_0)} < 0$ ；
（4） $f(x_0,y_0)$ 无法判断是否为极值点，当 $|H|_{(x_0,y_0)} = 0$ 。

上述定理不做证明，这里直观地解释一下。 $f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$ 说明 $(x_0,y_0)$ 点是函数 $f(x,y)$ 的一个驻点， $(x_0,y_0)$ 点对应的函数 $f(x,y)$ 上的点在下图中用红点来表示

当 $f_{xx}(x_0,y_0) > 0$ 且 $|H|_{(x_0,y_0)} > 0$ 时，可认为函数 $f(x,y)$ 在红点附近的曲面是凹的，红点停驻在山谷，如下图左侧所示，所以 $(x_0,y_0)$ 点是函数 $f(x,y)$ 的一个极小值点
当 $f_{xx}(x_0,y_0) < 0$ 且 $|H|_{(x_0,y_0)} > 0$ 时，可认为函数 $f(x,y)$ 在红点附近的曲面是凸的，红点停驻在山顶，如下图右侧所示，所以 $(x_0,y_0)$ 点是函数 $f(x,y)$ 的一个极大值点
$f_{xx}(x_0,y_0) > 0$ 且 $|H|_{(x_0,y_0)} > 0$
$f_{xx}(x_0,y_0) < 0$ 且 $|H|_{(x_0,y_0)} > 0$
当 $|H|_{(x_0,y_0)} < 0$ 时，可认为函数 $f(x,y)$ 在红点附近的曲面起伏不定，如下图所示，所以 $(x_0,y_0)$ 点不是函数 $f(x,y)$ 的一个极值点
$|H|_{(x_0,y_0)} < 0$