上述定理不做证明，下面通过举例来说明一下。让我们从该定理中的“方程”说起，

• 可改写为，这是，其几何意义是某空间曲面和空间平面的交线，比如下图中的红色交线
• 起到了将平面曲线转换到空间曲线的作用，比如下图中曲面和平面的交线是一个圆，这就将平面的圆转为了空间的圆，以便解决圆的隐函数的问题

而上述定理中的“”意味着点在红色的圆上，再结合上""（关于这一点的解释在本节最后），从而在点的某一就存在一个隐函数，如下图所示。

将该隐函数记作“函数”，显然有“”，该函数在面上，如下图所示。

所以在点的某一内有：

根据，对上式两侧求的可得：

根据“在点的某一内有的”，可知在该内是的，这意味着在该内的值变化不大；又上述定理中有“”，结合上的值变化不大，所以存在点的某一使得，从而可得出在该内有：

这里还需要解释下上述定理中的“”。按照下图所示选取点，作出曲面在点对的，可以看在该在平面上，这意味着在该上是恒定不变的，即在该上的变化率为，所以此时有。

根据上述定理中的条件可知，

• 曲面在点存在，之前解释过，该包含曲面上所有曲线的
• 在的除了在平面上外，也在该上
• 是平面上的曲线，也是曲面上的曲线，所以其必然在平面上，也在该上

综上可分析出，在的也是红色圆在的，如下图所示。容易理解，该平行于轴。

直观地理解，平行于轴的不是函数，所以被该所近似的圆在点附近的图像也不是函数，如下图所示。

所以在上述定理中给出了条件“”，这样才能保证“方程在点的某一内恒能唯一确定一个函数”。

可以将隐函数存在定理 1 推广到三元函数，也就是如下定理：

上述定理涉及到四维，无法进行图解了，这里试推一下其中的代数式。根据上述定理可知，在点的某一，有：

根据，对上式两侧分别求、的，可得：

根据“函数在点的某一内有的”，可知在该内是的，这意味着在该内的值变化不大；又上述定理中有“”，结合上的值变化不大，所以存在点的某一使得，从而可得出在该内有：

上述定理不做证明，这里试推下其中的和，关于的可自行举一反三。根据上述定理可知，在点的某一，有：

根据，结合上，对上述方程组两侧分别求的，可得：

稍微整理一下，可以看出这是关于以及的：

其为，对应的就是。根据，当时有：

隐函数存在定理 3 看上去很复杂，下面尝试通过几何来直观理解一下。

首先，可认为方程组表示的是两个空间曲面的交线，如下图中的红色交线。

如果可以证明该红色交线还是函数曲面以及的交线，那么该红色曲线就是函数了，如下图所示。这就是隐函数存在定理 3 完成的最重要的事情。

那么此时红色交线就可以表示为：

接着就可利用求解该红色交线的和了。