下面直观地来解释下上述定义。让我们在面上的点建立平面坐标系，为该坐标系中的，其与该坐标系中的两个坐标轴的夹角分别为和，所以在该坐标系中的，如下图所示。

所以上述定义中的可以如下改写：

所以表示的就是一个动点，时，该动点沿着所在射线，或者说沿着所在的方向，不断地逼近点，如下图所示。

所以时，动点会沿着射线对应的曲线不断地逼近点，如下图所示。

所以上述定义中的方向导数就是函数在点在方向上的变化率。

上述定理说的是：

如下图所示，其中转动的表示任意方向，对应的切向量表示沿方向的存在。结合上之前的学习，容易理解这些切向量都在上。

上述定理中还给出了的计算方法。先来看两个特殊的，函数在点沿方向、以及沿方向的分别为：

这是因为，

• 方向平行于轴，曲线在该方向上的变化率就是；或这样理解，方向对应的曲面上的曲线平行于轴，根据，其对应的切向量，如下图所示
• 方向平行于轴，曲线在该方向上的变化率就是；或这样理解，方向对应的曲面上的曲线平行于轴，根据，其对应的切向量，如下图所示

根据上述定理中的条件可知，方向与方向的夹角为，与方向的夹角为。且这些方向上的切向量都在上，如下图所示。

这些切向量都在上，可以想象，这意味着从开始贴着切平面平滑地转动就可到达，途中会经过，如下图所示。

平滑地转动意味着，方向上的变化率会逐渐过度到方向上的变化率，而方向上的变化率介于两者之间，也就是在及之间，所以就不难理解上述定理中的结论：

同样可证明，如果函数在点，那么函数在该点沿方向的方向导数为：