全微分

马同学

全微分

1 全微分的严格定义

有了直观之后，下面来看看数学家给出的全微分定义：

定义 .设函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点的某邻域内有定义，令：
$\Delta x=\mathrm{d}x=x-x_0,\quad \Delta y=\mathrm{d}y=y-y_0$
若函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点的全增量（Total increment）：
$\Delta z=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)$
可表示为：
$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$
其中 $A$ 、 $B$ 不依赖于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 而仅与 $x$ 和 $y$ 相关，且：
$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$
那么称 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点可微分（Differentiable），而 $A\Delta x+B\Delta y$ 称为 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点的全微分（Total differential），此时通常改写为 $A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y$ ，并记作 $\mathrm{d}z$ ，即：
$\mathrm{d}z=A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y$

上述定义看起来很复杂，但重点是其中的三个式子：

$\Delta z=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)$ ，这是曲面的表达式
$\mathrm{d}z=A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y$ ，这是平面的表达式，也就是曲面在 $(x_0,y_0)$ 点的全微分的表达式
$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$ ，该式可改写为 $o(\rho)=\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)$ ，所以该式说的是曲面 $\Delta z$ 和全微分 $\mathrm{d} z$ 相差 $o(\rho)$

上述三个式子以及彼此的关系，如下图所示。

所以上述定义其实说的就是：

$\text{若}\ \text{曲面}-\text{平面}=o(\rho)\implies\text{该平面就是曲面的全微分}$

2 全微分的计算方法

定理 .若函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点可微分，则偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 、 $f_y(x_0,y_0)$ 必定存在，且 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的全微分为：
$\mathrm{d}z=f_x(x_0,y_0)\mathrm{d}x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{d}y$

证明 .因为 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点可微分，所以对于 $(x_0,y_0)$ 点某邻域内任意的 $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ 点，有：
$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)=A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$
当 $\Delta y=0$ 时，上式也成立，即有：
$\Delta z=A\Delta x+o(|\Delta x|)$
两边同时除以 $\Delta x$ 。再令 $\Delta x\to 0$ ，可得：
$\begin{aligned} \frac{\Delta z}{\Delta x}=A+\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x} &\implies A=\frac{\Delta z}{\Delta x}-\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}\implies A=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta z}{\Delta x}-\lim_{\Delta x\to 0}\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}\\ &\implies A=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=f_x(x_0,y_0)\\ \end{aligned}$
同理可得：
$B=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}=f_y(x_0,y_0)$
所以偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 、 $f_y(x_0,y_0)$ 存在，且这两个偏导数就是 $A$ 和 $B$ ，所以：
$\mathrm{d}z=f_x(x_0,y_0)\mathrm{d}x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{d}y$

3 可微分的充分条件

定理 .已知函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数为 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial f}{\partial y}$ ，那么：
$\frac{\partial f}{\partial x}、\frac{\partial f}{\partial y}\ 在\ (x_0,y_0)\ 连续\implies f(x,y)\ 在\ (x_0,y_0)\ 点可微分$

证明 .根据偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(x_0,y_0)$ 点连续，可知偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(x_0,y_0)$ 点的某邻域内存在。设点 $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ 为该邻域内任意一点，则：
$\begin{aligned} \Delta z &=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0) \\ &=[f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0+\Delta y)]+[f(x_0, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)] \end{aligned}$
第一个方括号内的表达式，由于 $y_0+\Delta y$ 不变，所以可看作是 $x$ 的一元函数 $f(x, y_0+\Delta y)$ 的增量，应用拉格朗日中值定理，得到：
$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0+\Delta y)=f_{x}\left(x_0+\theta_{1} \Delta x, y_0+\Delta y\right) \Delta x, \quad 0<\theta_{1}<1$
因为偏导数 $f_x(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点连续，又多元函数的极限也有类似于极限与无穷小的关系，即类似有 $\lim f(x)=L\implies f(x)=L+\alpha$ ，其中 $\alpha$ 为无穷小，所以：
$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f_{x}(x_0+\theta_{1} \Delta x, y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)\implies f_{x}(x_0+\theta_{1} \Delta x, y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+\varepsilon_1$
其中 $\varepsilon_1$ 满足 $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\varepsilon_1=0$ ，所以第一个方括号的式子最终可以写作：
$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0+\Delta y)=f_{x}(x_0, y_0) \Delta x+\varepsilon_{1} \Delta x$
同样的道理，第二个方括号中的表示式可以写作：
$f(x_0, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)=f_{y}(x_0, y_0) \Delta y+\varepsilon_{2} \Delta y$
其中 $\varepsilon_2$ 满足 $\lim_{y\to y_0}\varepsilon_2=0$ ，所以：
$\Delta z=f_{x}(x_0, y_0) \Delta x+f_y(x_0, y_0) \Delta y+\varepsilon_{1} \Delta x+\varepsilon_{2} \Delta y$
设 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ ，容易看出：
$\left|\frac{\varepsilon_{1} \Delta x+\varepsilon_{2} \Delta y}{\rho}\right|=\left|\frac{\varepsilon_{1} \Delta x}{\rho}+\frac{\varepsilon_{2} \Delta y}{\rho}\right|\le|\frac{\varepsilon_{1} \Delta x}{\rho}|+|\frac{\varepsilon_{2} \Delta y}{\rho}|\le|\varepsilon_{1}|+|\varepsilon_{2}|$
类似于单变量微积分中的夹逼定理，根据上式可推出：
$\begin{aligned} \left|\frac{\varepsilon_{1} \Delta x+\varepsilon_{2} \Delta y}{\rho}\right|\le|\varepsilon_{1}|+|\varepsilon_{2}| &\implies -|\varepsilon_{1}|-|\varepsilon_{2}|\le\frac{\varepsilon_{1} \Delta x+\varepsilon_{2} \Delta y}{\rho}\le|\varepsilon_{1}|+|\varepsilon_{2}|\\ &\implies\lim_{\rho\to 0}\frac{\varepsilon_{1}\Delta x+\varepsilon_{2}\Delta y}{\rho}=0\implies \varepsilon_{1} \Delta x+\varepsilon_{2} \Delta y=o(\rho) \end{aligned}$
所以：
$\Delta z=f_{x}(x_0, y_0) \Delta x+f_y(x_0, y_0) \Delta y+\varepsilon_{1} \Delta x+\varepsilon_{2} \Delta y=f_{x}(x_0, y_0) \Delta x+f_y(x_0, y_0) \Delta y+o(\rho)$
这也就证明了 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点可微分。

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