全微分

马同学

1 全微分的严格定义

有了直观之后，下面来看看数学家给出的全微分定义：

设函数在点的某内有定义，令：

若函数在点的全增量（Total increment）：

可表示为：

其中、不依赖于和而仅与和相关，且：

那么称在点可微分（Differentiable），而称为在点的全微分（Total differential），此时通常改写为，并记作，即：

上述定义看起来很复杂，但重点是其中的三个式子：

上述三个式子以及彼此的关系，如下图所示。

所以上述定义其实说的就是：

2 全微分的计算方法

若函数在点，则、必定存在，且在点的为：

因为在点，所以对于点某内任意的点，有：

当时，上式也成立，即有：

两边同时除以。再令，可得：

同理可得：

所以、存在，且这两个就是和，所以：

3 可微分的充分条件

已知函数的为、，那么：

根据、在点，可知、在点的某内存在。设点为该内任意一点，则：

第一个方括号内的表达式，由于不变，所以可看作是的一元函数的增量，应用，得到：

因为在点，又也有类似于，即类似有，其中为，所以：

其中满足，所以第一个方括号的式子最终可以写作：

同样的道理，第二个方括号中的表示式可以写作：

其中满足，所以：

设，容易看出：

类似于，根据上式可推出：

所以：

这也就证明了在点。

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