这里以和为例说明下上述定义，我们需要对两者的夹角进行分类讨论：

• 若为锐角，过向所在直线作垂线，交于点，容易算出的长度为，如下图所示

  令，此时上述定义中的投影就出现了，且有。再引入的，那么点也就是，如下图所示

  为锐角，投影

• 若为钝角，则投影。过向所在直线作垂线，交于，其方向与相反，如下图左侧所示
• 若为直角，则投影。过向所在直线作垂线，交于，即交于原点，如下图右侧所示

  为钝角，投影

  为直角，投影

结合上，即；以及，还可以推出一些以后会用到的代数式：

对于和而言，投影的几何意义也是一样的，以下图为例，不再进行赘述。

上述运算规律的几何意义如下图所示。