正态分布

马同学

正态分布又名高斯分布，是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要，经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量。

若随机变量 $X$ 服从一个位置参数为 $\mu$ 、尺度参数为 $\sigma$ 的正态分布，记为：

$X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$

则其概率密度函数为

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}$

正态分布的数学期望值或期望值 $\mu$ 等于位置参数，决定了分布的位置；

其方差 $\sigma^2$ 的开平方或标准差 $\sigma$ 等于尺度参数，决定了分布的幅度。

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ,则

$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$

其中 $N(0,1)$ 称为标准正态分布,其概率密度函数和分布函数分别为

$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},\quad -\infty < x < +\infty$

$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$

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