设在的时刻开始运动，在时刻的、坐标分别为、纵坐标为，从而可推出对应的参数方程，即：

为了后面的计算还需要规定以某种特定的方式运动，先回忆一下的速度向量，如下图所示。

在这里我们规定以大小为的恒速进行运动，也就是有：

结合上，可以计算出时走过的曲线长度为，即：

同样的道理，可知对于而言有，这是因为的长度为，所以：

为了之后的计算还需要进一步换元，令，由于，因此有，所以：

因为是封闭曲线，也就是说其首尾相接，所以可推出一个之后要用到的结论：

根据，此时有：

因为上面推出过，也就是有，其中的自变量换为也是成立的，所以又可推出一个之后要用到的结论：

        （2）原点在质心。其实上面所用坐标系的原点都建立在分段光滑的质心处，这么做是可以得到一个对之后计算有帮助的推论。

在《马同学图解微积分（上）》中介绍过，在本课程中介绍过，曲线质心的坐标计算公式大同小异，这里直接给出该公式：

其中为曲线的线密度，对于而言可规定其线密度为；是，即；结合上坐标系的原点建立在的质心处，即对于而言有以及。再结合上（1）中得到的，所以对于有：

        （3）算出所围的平面的上限。，这里也是类似的，令和，则有：

根据以及，所以所围的平面的面积为：

因为对应的参数方程是抽象的，所以无法算出其所围面积的具体值，但可通过三个不等式进行三次缩放，最终确定的范围：

因为的长度为，所以其所围的平面为圆时面积取得上述不等式中的最大值，这说明在保持周长不变的前提下，圆的面积是最大的。

        （4）那么在保持周长不变的前提下，只有圆的面积是最大的吗？这需要分析一下（3）中用到的三个不等式，

• 第一个不等式，取到等号的条件是和的符号相同。该不等式是借助得出的，即：

• 第二个不等式，取到等号的条件是。该不等式是借助得出的，即：

• 第三个不等式为：

  取到等号的条件是。该不等式是借助维廷格函数不等式得出的（该不等式附在本证明的后面），即（其中需要的条件是（1）中推出的，以及（2）中推出的）：

综上，所以取得上述不等式中的最大值需要同时满足，“和的符号相同”、“”以及“”。据此可得，还可以设（设可以得到一样的结论），所以：

结合上（1）中得到的，可推出：

从而可推出当取得上述不等式中的最大值，曲线的、坐标需要满足：

上式说明必然是某圆的边界，这说明在保持周长不变的前提下，只有圆的面积是最大的。顺便解释一下，因为的质心在原点，这实际上是一个，由此可推出。