定理 1（常数的方差）.若是常数，则。

证明 .根据以及，有。

或者这么直观地理解，由于方差的作用是衡量随机性（波动性），而常数没有随机性，因此其方差为0。

定理 2（方差的常数变换定理）.对于任意常数、，及，有。

证明 .根据以及，可得：

例 .代表“某公司工人的工资”，其标准差为元。现有两种工资提升方案，

（1）若每个人工资增加1000元，即提升后工资为，请求出；

（2）若每个人工资增加1.2倍，即提升后工资为，请求出。

解 .（1）若每人都增加1000元，彼此之间的差距保持不变，如图 1 所示。

图 1 每人都增加1000元，提升前后的差距保持不变

因此，标准差不会变化，这个结论可由方差的常数变换定理（定理 2 ）推出，即：

        （2）若每人都增加1.2倍，彼此之间的差距会变大1.2倍，如图 2 所示。

图 2 每人都增加1.2倍元，提升前后的差距变大1.2倍

因此，标准差也变大1.2倍，这个结论也可由方差的常数变换定理（定理 2 ）推出，即：