等周定理及其初等证明

马同学

等周定理及其初等证明

接着让我们一同来探讨“等周定理”的证明。在该定理的证明中，虽然不是主角，但也是不可或缺的角色。更重要的是，该定理的证明融合了之前学习的多个知识点，用它来作为本课程的收官之作，无疑是非常合适的。

1 等周定理

等周定理也称为等周不等式（Isoperimetric inequality），说的就是，对于周长相等图形而言，圆形所围的面积最大，如下图所示。

周长相等时圆形所围的面积最大，即时有

该定理还有一个等价描述，就是对于面积相等的图形而言，圆形的周长最小，如下图所示。

面积相等圆形的周长最小，即时有

等周定理的出现可以追溯到很早以前，其看似简单，证明却颇为不易。本节先介绍两个直观的解释。

2 泡泡为什么是圆的？

先来看一个物理上的解释。相信大家都吹过泡泡，你会发现不论用什么形状的工具，吹出来的泡泡都是圆的，如下图所示。

这个现象可以用物理世界中的“能量最低原则”来解释，就是物理世界总得来说其实很懒，比如山顶的石头表示高处不胜寒，想滚到山谷去节约点能量；再比如树上垂着的苹果想落到地面，不用很累地“自挂东南枝”，如下图所示。

肥皂水也很懒，它被你吹动之后被迫要变成泡泡来裹住这口气，它肯定想节约力气，就把自己撑开成了表面积最小的球形泡泡，非常经济地完成了任务。这就解释了三维中的等周定理，即包围的体积相等时，球形的表面积最小。

3 等周定理的初等证明

再来看看在数学上对等周定理证明的一次尝试，这次尝试也可以称为等周定理的初等证明。该初等证明是由瑞士数学家雅各布·施泰納（如下图所示）作出的，这也是人类在该定理的证明上取得的首个进展。

瑞士数学家雅各布·施泰納 (Jakob Steiner，1796 – 1863)

下面开始图解雅各布·施泰納给出的证明，先说明一下该证明的思路，就是重复、交叉地执行下图中的三个操作。这三个操作中的每一个都可以在保持周长不变的前提下，不断扩大该周长围成的图形的面积，最终得到的图形就是圆。

雅各布·施泰納的证明思路

接着来解释这三个操作的细节，

（1）凹的变凸的。设有某封闭曲线围成的图形，如下图所示，显然该图形有一部分是凹的。

在保持周长不变的前提下，将其中凹的部分翻出来会得到的一个新图形，该新图形的面积一定是变大了的，如下图所示。

新图形还有凹的部分，如下图所示，让我们把这一部分也翻出来，这样在保持周长不变的前提下，进一步扩大了图形的面积。

反复执行“凹的变凸的”这个操作，最终就会得到一个周长不变且凸的图形，如下图所示。

（2）变为中心对称的。上图中的凸图形上有无数个可以平分周长的弦，在其中任意挑选一个，如下图所示，这里挑选的是弦，此时有。弦也将图形分为了两个部分，这两部分的面积分别为和，满足。

因为以及，所以我们将弦左侧的部分翻到右边去，如下图所示。这样得到的新图形可以保证周长不变，但面积又增大了。

得到的新图形又有凹的部分，我们需要重新执行步骤（1）将之翻转出来，如下图所示。

上述图形又出现了凹的部分，所以需要反复执行步骤（1）直到图形变为凸的图形为止，然后再交叉、重复执行步骤（1）、（2），直到最终变为凸的中心对称图形为止，如下图所示，其中的点是该图形的对称中心。

（3）通过直角三角形撑大。对于上图中的中心对称图形而言，过对称中心点的弦总能同时平分周长和面积，也就是有以及，如下图所示。

更重要的是，弦左侧的图形绕对称中心点旋转后会和右侧的图形重叠，如下图所示，这意味着接下来只需要考虑右侧的图形即可。

在右侧的图形边界上任选一点，构造，该三角形将右侧图形的面积分为三部分、和，如下图所示。

在右侧图形的边界的长度及、不变的前提下，绕点转动面积为的曲边形，得到新的右侧图形，其中包含直角三角形，如下图所示。因为，所以新右侧图形在保持周长不变的同时增大了面积。

这里解释一下为什么有，如下图所示，原因就是当两个三角形有两边相等时，其中的直角三角形面积最大，不论另外一个三角形是锐角的还是钝角的。

回到之前得到的新右侧图形，将之绕对称中心点旋转后会得到一个新的中心对称图形，如下图所示，根据之前的分析可知，这个新的中心对称图形在保持周长不变的同时增大了面积。

但上图中的中心对称图形又出现了凹的部分，所以还需要交叉、重复执行步骤（1）、（2）、（3），最终得到的图形会是一个圆，也就是说对于圆而言，无法再执行（1）、（2）、（3），它就是这三步操作的终点。这是因为圆是凸的中心图形，且过其对称中心点的弦，也就是该圆的任意直径，和边界上任意一点（异于、两点）构造出来的三角形都是直角三角形，如下图所示。

此时雅各布·施泰納就说，在保持周长不变的前提下，圆的面积已经没有办法再扩大了，至此就完成了等周定理的初等证明。

4 初等证明的问题

上述等周定理的初等证明是有很多遗留问题的，比如