前面严谨地介绍了格林公式，但缺少了一些直觉性。为了弥补这一缺陷，本节将深入挖掘该公式的发明背景及发明者的思考过程，以期帮助同学们建立更为直观的印象。

让我们从格林公式的发明人乔治·格林说起，如下图左侧所示。乔治·格林 40 岁才考上了剑桥的本科生，后来留任在剑桥的凯斯学院。为了纪念他以及这个重要的公式，凯斯学院有一扇窗户上画了关于格林公式的一幅图，如下图右侧所示。

窗户上的这幅图虽简约却巧妙地展现了乔治·格林推导公式时的思路。接下来，我们将帮助同学们理解这幅图，并借此展示格林公式的直观意义。为了方便讲解，还是先列出格林公式：

在乔治·格林生活的那个时代，电磁学正方兴未艾，上述公式正是在解决这门学科的具体问题中诞生的。当时电磁学的一个研究热点是电磁效应，为了研究这一效应，物理学家们会将通电的线圈放入磁场之中，如下图所示，此时线圈会受到磁力的作用，从而产生旋转。

上述通电线圈可抽象为平面中的封闭有向曲线，其方向代表的是电流的方向，而磁力场可以表示为向量场，如下图所示。

物理学家往往会需要计算磁力场对该线圈的做功，也就是计算如下的：

有时候上述积分是比较难计算的，所谓格林公式就给出了该积分的一个计算方法。假设封闭有向曲线所围的为，如下图所示。

那么根据格林公式，在有向曲线上的可转为在上的，即：

下面来看看乔治·格林是如何推导出上述结论的。他将划分为很多个小格子，如下图所示。

这么做的原因是因为乔治·格林发现，如果在每个格子的边界上计算，相邻的边界会相互抵消。以下图中的个蓝色格子为例，内部灰色边界上有一对方向相反的积分，也就是黑色箭头所指方向上的积分，这两者会相互抵消；而外部黑色边界上只有一个方向的积分，也就是红色箭头所指方向上的积分，该积分会被保留下来。

也就是说在这个蓝色格子上计算并且相加起来，得到的是外部正向边界上的，如下图所示，这里用红色描出了外部正向边界。

如果计算内所有的小矩形格子上的并且相加起来，就会得到下图中红色边界上的。

如果将划分为更多个小格子，然后计算内所有的小矩形格子上的并相加，就会得到下图中红色边界上的。

可以看到随着小矩形格子的增多，红色边界会逐渐逼近有向曲线，相应的红色边界上的也会逼近乔治·格林想要的计算结果，最终当小矩形格子的个数，并且这些小矩形格子的最大直径时，可以求出。

思路解释清楚了，下面来计算单个小矩形格子的，以下图中的小矩形格子为例，个顶点分别为、、和。

注意到力场在方向的分力与有向直线、垂直，从而在这两条直线上不做功；及力场在方向的分力与有向直线、垂直，从而在这两条直线上不做功。结合上，可如下计算在正向边界上的：

简写一下，上面的推导得到了如下结果：

按照最上面解释的思路，将划分为更多的小矩形格子，当这些小矩形格子的最大直径时，结合上单个小矩形格子的计算结果，就可以得到：