（1）思路分析。题目要求的，其被积函数是，如下图左侧所示。所以该二重积分的几何意义就是以为顶、积分区域为底的的体积，如下图右侧所示。
旋转抛物面
图中曲顶柱体的体积为
容易理解，增大时会随之增大，如下图左侧所示。继续增大使得紫色的曲顶刚好接触面，此时取得最大值，如下图右侧所示，该积分区域就是。
增大时随之增大
积分区域为时取得最大值
继续增大会发生什么呢？其对应的曲顶会越过面，如下图所示。
积分区域，及其对应的紫色曲顶
上述积分区域可分为两部分，一部分为，其所对应的紫色曲顶在面的上方，如下图左侧所示，该曲顶对应的函数满足。一部分为去掉后的圆环，记作，其所对应的绿色曲顶在面的下方，如下图右侧所示，该曲顶对应的函数满足。
对应的曲顶
因为对应的曲顶，根据可知：
结合上，从而可得出继续增大使得曲顶越过面后，对应的变小了，即此时有：
（2）求出。的边界为曲面和面的交线，即该边界方程为，从中消去可以得到该边界在坐标系中的方程：
所以就是半径为的圆的内部，即，如下图所示。
