拉普拉斯展开

马同学

拉普拉斯展开可以总结如下：

需要进一步了解的可以看下面的内容。

1 拉普拉斯展开

的可以表示成关于该方阵的某一行的各元素与其对应的乘积之和，即:

或表示成关于该方阵的某一列的各元素与其对应的乘积之和：

这种计算行列式的方法称为拉普拉斯展开（Laplace expansion）。

（1）从最简单的情况说起，如果如下：

根据有（下面用表示，表示）：

对于而言有，所以：

（2）再来看看下面这种情况，如果如下，第行除外的元素都为：

可以通过把的第行依次与行、行、、第行对换，对换次数为，使得：

再把列依次与列、列、、第列对换，对换次数为，使得：

此时的行列式值为：

根据，每次对换都会变号，总的变号可以如下计算：

因此：

（3）最后来看看一般的情况，根据（1）（2）的结论，以及可得：

之前介绍过的其实就是按照第一列进行了拉普拉斯展开：

2 拉普拉斯展开的推论

对于，有：

将按照第行进行拉普拉斯展开，得到：

如果像下面这样改变展开式的系数，那么相当于将中的第行进行了改变，从而得到一个新的：

可看到，中的第行和第行是相同的，根据可知：

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