用此来构建一个：

根据可知，的每一列都是的的，即存在一个的矩阵使得（比如下面的矩阵：

其列秩为2，下面尝试将其分解为：

因为的列秩为2，为了计算简单，选择来构造矩阵：

矩阵的第一列为的列向量组合：

矩阵的第二列为：

矩阵的第三列为：

所以：

由于，根据，那么的每一行都是的的。这意味着的包含于 的之中，因此：

而仅有行，所以：

综上可得：

        （2）下面只要把为，用同样的方法可证明：

        （3）综合（1）、（2）可得：

        （1）首先假设有阶，它的其实就是：

因此是的，因此是满秩矩阵。下面只需要证明后得到的依然，就可以得出是满秩的结论。

        （2）。不妨假设是第二行的倍加到第一行上，因此得到的向量组为：

假设该向量组，那么一定有不全为零的实数、、、使得：

不妨假设，移项整理后可得：

也就是说可由剩下的行向量，这与相矛盾，因此也是的，因此后得到的依然是满秩矩阵。

        （3）同样的道理，和得到的也是满秩矩阵。因此，所有都是满秩矩阵。