矩阵乘法的定义（点积观点）

马同学

矩阵乘法的定义（点积观点）

矩阵乘法的定义如下：

设 $A=(a_{ij})$ 是一个 $m\times s$ 矩阵， $B=(b_{ij})$ 是一个 $s\times n$ 矩阵，那么规定 $A$ 与 $B$ 的乘积是一个 $m\times n$ 矩阵 $C=(c_{ij})$ ，其中：

$c_{ij}=\boldsymbol{a}_{i*}\cdot\boldsymbol{b}_{*j}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{is}b_{sj}=\displaystyle \sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj}$ $(i=1,\cdots,m;j=1,\cdots,n)$

并把乘积记作：

$C=AB$

上述定义的意思是，用左侧矩阵的行向量点积上右侧矩阵的列向量可以得到矩阵中的每个元素：

所以该定义又称为矩阵乘法的 $\color{Salmon}{点积}$ 观点，根据它也可以推出矩阵乘法行观点、矩阵乘法列观点。

1 适用场景

点积观点非常适合用于口算矩阵乘法：

2 运算规律

通过矩阵乘法的定义，可以推出矩阵乘法满足以下运算规律（矩阵乘法可以进行的话）：

$\begin{array}{c|c} \hline \\ \quad 交换律\quad&\quad 不一定满足\quad\\ \quad 数乘交换律\quad&\quad \lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)（其中\lambda是数）\quad\\ \quad 结合律\quad&\quad (AB)C=A(BC)\quad\\ \quad 分配律\quad&\quad A(B+C)=AB+AC\quad\\ \\ \hline \end{array}$

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