如果某能写成：
那么该就称为 n 阶线性微分方程 。如果，那么该方程就是 齐次 的，否则就是 非齐次 的。
之所以称为阶线性微分方程，是因为如果将上述微分方程等号的左侧看作关于的函数，即：
那么该函数符合，也就是满足：
“齐次”与“非齐次”则和类似。
设为定义在区间上的个函数，如果存在不全为零的实数，使得当时恒有：
那么称在区间上 线性相关 的，否则称 线性无关 。
这和《线性代数》中的几乎完全一样，可以类比进行理解。这里特殊的是将这个函数看作了个。
如果是阶齐次线性微分方程
的个线性无关的解，那么此方程的为：
这和非常类似，可以进行类比理解。
举一个例子，比如是二阶齐次线性方程，容易验证和是所给方程的两个解。如果这两个解线性相关的话，也就是说存在不全为零的实数使得当时恒有，那么会推出：
但不是常数，所以这是两个线性无关的解，因此所给方程的为：
也容易验证是所给方程的解，但和不是线性无关的两个解，所以没法构造。或者说构造出来也不符合：
如果是阶非齐次线性微分方程
一个，是对应的n阶齐次线性微分方程
的通解，那么此非齐次线性微分方程的为：
这和上一节提到的非常类似，也可以进行类比理解。
举一个例子，比如是二阶非齐次线性方程，上面解释了的为。又容易验证是所给方程的，因此所给方程的为：
假设二阶非齐次线性微分方程的为，对应二阶齐次线性微分方程的为：
根据线性微分方程解的结构，所以二阶非齐次线性微分方程的为：
对其进行变形：
所以说在形式上，齐次与非齐次的的区别就是将常数系数变为函数系数，这就是 常数变易法 ：
上述结论推广到阶也是成立的：
已知的为，请求出的。
根据上面介绍的常数变易法，可知二阶非齐次线性微分方程的的形式如下：
下面的任务就是要求出、。先求出一阶导：
为简化运算，设（这样在之后的计算中不会出现和，若作此假设后算不出来，可考虑别的方法），可得：
在简化的基础上继续求出二阶导：
将、和回代到可得：
整理后可得：
、是齐次解，所以上式可化简为：
结合之前的假设，我们可以得到如下的方程组，其中、是未知数：
上述方程组可在的帮助下改写为：
若的：
根据，那么有唯一解：
存在的话，有：
所以的为
