下面来解释全微分定义中的细节，为了方便观看，这里将该定义再抄写一遍：

下面来解释上述定义中最重要的三点：

• ，为什么说这是曲面的表达式？
• ，为什么说这是平面的表达式，也就是曲面在点的全微分的表达式？
• ，该式又在说什么？

已知函数曲面、点以及点，如下图所示。

根据，过点的平面的方程可假设为（之所以这么假设，是因为点的必然过点），如下图所示。

如果在点处建立空间坐标系，如下图所示。

在坐标系中曲面方程为，平面方程为，变换到坐标系后，它们的方程如下表所示（关于这个转换不清楚的，可以再看看《马同学图解微积分（上）》中，两者是非常类似的）：

在下图中（这里为了方便展示，调整了下点的位置，以及观察的角度）展示了在坐标系下曲面的方程以及平面的方程。

将改写为，所以该式说的是曲面和全微分之间相差，如下图所示。为了展示方便，下图中没有绘制出坐标系，这不会影响后面的结论。

接下来解释一下差距的含义，以下图中的一组红点和连线为例。设这组红点在面的坐标为，因为，所以就是点和点的距离。

根据可知有，所以点逼近点（）时，曲面和全微分之间的差值在缩小（），如下图所示。

这说明越接近点曲面和全微分越相似，且由于是，曲面和全微分最相似（与所有过点的平面相比），所以说全微分就是可近似曲面在点及其附近图像的平面。关于最相似这一点，同学们还可以参考《马同学图解微积分（上）》中的“”。

可近似曲面在点及其附近图像的平面也称为 切平面 （Tangent plane），该切平面会经过曲面上的点，所以点也称为 切点 （Tangent point），如下图所示。根据上面的分析可知，切平面在坐标系中的方程为，在的方程为，此时才能称为全微分。