无穷限的反常积分

马同学

有一些限制条件：

针对上述限制，数学家对进行了两种推广，从而形成了反常积分，其具体定义如下：

以下三种反常积分统称为无穷限的反常积分：

（1）若函数在区间上，任取，则代数式称为函数在区间上的反常积分，记作，即：

若上述存在，则称该反常积分收敛，极限值为该反常积分的值；否则称该反常积分发散。

（2）若函数在区间上，任取，则代数式称为函数在区间上的反常积分，记作，即：

若上述存在，则称该反常积分收敛，极限值为该反常积分的值；否则称该反常积分发散。

（3）若函数在区间上，则反常积分与反常积分之和称为函数在区间上的反常积分，记作，即：

若上述之和存在，则称该反常积分收敛，和值为该反常积分的值；否则称该反常积分发散。

这里举例说明一下上述定义。先来看看定义（1），如下图所示，函数在区间上，是。

随着上限，就得到了在区间上的反常积分，如下图所示。若该极限存在，那么就说该反常积分收敛，否则发散。

定义（2）是的情况，如下图的左侧所示；定义（3）是的情况，如下图的右侧所示。

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