定积分的换元法

马同学

定积分的换元法

定理 .若函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，函数 $x=\psi(t)$ 满足：
（1） $\psi(\alpha)=a,\psi(\beta)=b$ ；
（2） $\psi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ （或 $[\beta,\alpha]$ ）上具有连续导数，且其值域 $R_{\psi}=[a,b]$ ，
则有:
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\psi(t)]\psi'(t)\mathrm{d}t$

定积分的换元法和不定积分的第二类换元法有点类似，这里进行一下比较：

不定积分换元时，只需要替换积分变量；而定积分换元时，还需要替换积分上下限
不定积分换元后还需要将 $t=\psi^{-1}(x)$ 进行回代，以便得到以 $x$ 为自变量的不定积分；而定积分换元法不要求 $x=\psi(t)$ 存在反函数，这是因为换元后运用牛顿-莱布尼兹公式就可得到（实数）结果，不需要回代

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