不定积分及其性质

马同学

1 不定积分的定义

根据上面的描述我们知道了，并不唯一且有无数多个，所以有了下面的定义：

如果是在区间上的一个，那么（为任意常数）称为（或）在区间上的不定积分（Indefinite integral），记作：

其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。

上述定义涉及到的符号较多，这里用下图来总结一下：

可以证明，不定积分表示了的所有。

假设是的一个，是另外一个，那么有：

，导数为0的函数必为常函数，所以：

即不定积分为的所有。

2 不定积分的性质

根据不定积分的定义，可以推得它有如下的两个性质：

（1）证明齐次性。为非零常数时，根据不定积分的定义以及可知，有：

上式说明是的一个，又中包含任意常数，所以是的不定积分，即：

（2）证明可加性。根据不定积分的定义以及可知，有：

上式说明是的一个，又中包含任意常数，所以是的不定积分，即：

上面定理所说的“齐次性”、“可加性”源自，所以上面实际上证明了不定积分是一种。

关注马同学

微信公众号：matongxue314

马同学机器学习

马同学图解数学

关注马同学

微信公众号：matongxue314