如果上限在区间上变动，那么对于每一个给定的，都有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，记作：
该函数称为 积分上限函数 。
举例说明下上述定理。如下图所示，其中的函数在区间上。
容易理解，在上任取一点，那么该函数在区间上也，如下图所示。值得注意的是，为了不和中的混淆，这里的用来表示。
每一个给定的都对应一个给定的，将这两者的关系记录下来，那么就得到了积分上限函数，如下图所示（是因为）。
由此得函数的增量：
再应用，在和之间存在，使得：
由于在区间上，而时有，因此有。所以根据上式可得：
若时，取，则同理可证；若时，取，则同理可证。
上述定理说的就是，当在区间上时，积分上限函数是的一个。
