除了前面介绍的、和之外，本课程还关心一些可以通过三元二次方程所表示的曲面，这些曲面也称为 二次曲面 （Quadratic surface）。顺便说一句，前面学习过的也称为 一次曲面 （linear surface）。

总共有九种二次曲面，这里将之罗列如下（其中的双叶双曲面在同济大学《高等数学（下）》中给出的代数式为，作出来的图像在朝向上有所不同），之后会来讨论如何记忆这些二次曲面以及推断它们的形状。

我们知道是面上、中心在原点、焦点在轴上、半长轴为、半短轴为的椭圆，如下图所示。

该椭圆也可以看作由单位圆（半径为的圆）沿轴拉伸倍，沿轴拉伸倍所得，如下图所示。

要完成上述操作可通过将单位圆的方程先变为参数方程，再变为，即：

再通过轴上的和轴上的完成拉伸，从而得到椭圆的方程，即（细节可参看《马同学图解线性代数》课程中的）：

椭球面也是类似的，它是由单位球面沿轴拉伸倍、沿轴拉伸倍、沿轴拉伸倍所得，如下图所示。

同样的，将圆锥面沿轴拉伸倍、沿轴拉伸倍就可得到椭圆锥面，如下图所示。

以及拉伸旋转单叶双曲面、旋转双叶双曲面、旋转抛物面可得单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面。

双曲抛物面如下图所示，因其形状又称为 马鞍面 （Saddle surface）。从图中可看出该曲面的生成过程有点类似于柱面，其中准线是面上的红色抛物线，母线是开口朝下的黑色抛物线，该曲面就是由黑色抛物线沿红色抛物线移动所得的。

上述生成过程也可从代数式中推导出来，对于双曲抛物面，

• 令，则有，这是面上的红色抛物线
• 令，则有，这是平面与该双曲抛物面的交线，也就是开口朝下的黑色抛物线，也称为 截痕 （Cross section）
• 随着的变换黑色抛物线会不断移动，但又受到红色抛物线的约束，所以会产生黑色抛物线沿红色抛物线移动的效果，最终生成双曲抛物面，