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条件概率

设和是样本空间中的两事件，若，则称：

为“给定发生的条件下，的概率”，简称为 条件概率 （Conditional probability）。

让我们从两个角度来深入理解这个定义：

  • 数学的严谨性：该定义满足，因而具备
  • 定义的实际含义：该定义恰当地刻画了“给定发生的条件下，的概率”
1 数学角度的解释

先来看看数学的严谨性，即证明条件概率满足：

设和是样本空间中的两事件，且，则：
  • 非负性：
  • 规范性：
  • 可加性：若、、、、两两之间，则：

 （1）非负性。因为，又根据可知，所以有：

        （2）规范性。因为，所以有：

        （3）可加性。这里就证明最简单的情况，对于两个的和，即，根据，可推出：

根据，以及，所以有：
2 定义的实际含义

再来分析条件概率是如何刻画“给定发生的条件下，的概率”的。为了帮助理解这种抽象的概率，我们将借助一道的例题来说明。

假设有、两个杯子，里面装着红球、蓝球，如图 1 和图 2 所示。请回答以下问题：

图 1 杯中有3个红球、1个蓝球

图 2 杯中有2个红球、2个蓝球

（1）随机从两个杯子中抽取一个球，抽到蓝球的概率是多少？

（2）如果限定从杯中抽取一个球，抽到蓝球的概率是多少？

 （1）计算随机从两杯中抽到蓝球的概率。由两杯中的5个红球和3个蓝球构成。设。表示两者关系的韦恩图如图 3 所示。

图 3 样本空间和事件

根据，所以：

（2）计算从杯中抽到蓝球的概率。和（1）相比增加了“从杯中抽球”这个限制条件。设，那么这个限制条件就等价于，此时：

  • 只需考虑杯中的球，如图 4 所示
  • 中有意义的部分就只有了，如图 4 所示
  • 可认为就是，我们关心的事件“抽到蓝球”就是，如图 5 所示

图 4 只考虑杯中的球

图 5 样本空间和事件

根据上面的分析，可以得出：

上式可以进一步改写为：

上述例题解释了的含义为“给定发生的条件下，的概率”，还给出了一个洞察：条件概率实际上将原缩小为了（这一洞察在中是成立的。而在其他学派，条件概率有着相似的作用，但解释方式可能有所不同）。

3 概率和条件概率

为了更深入地理解，这里对比一下（见图 6 ）和条件概率（见图 7 ）。

图 6

图 7

两者最核心的区别在于有着不同的：

  • 的为，这是一个全局的空间，包含所有可能性
  • 的为，相对而言这是一个局部空间，排除了一些可能性

也可以被视为一种特殊的条件概率，因为。

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