一般的函数极限 设函数在上有定义。如果，，，有：
那么就称是函数当时的 极限 ，或者称当时函数 收敛于 ，记作：
如果不存在这样的常数，就说当时函数没有极限，或者说当时函数是 发散 的，习惯上也说不存在。
左极限 设函数在上有定义，其中。如果，，，有：
那么就称是函数当时的 左极限 ，或者称当时函数 收敛于 ，记作：
如果不存在这样的常数，就说当时函数没有极限，或者说当时函数是 发散 的，习惯上也说不存在。
右极限 设函数在上有定义，其中。如果，，，有：
那么就称是函数当时的 右极限 ，或者称当时函数 收敛于 ，记作：
如果不存在这样的常数，就说当时函数没有极限，或者说当时函数是 发散 的，习惯上也说不存在。
一般的函数极限、左极限、右极限几乎一样，区别在于：
下面以某函数为例来解释下一般的函数极限，其余两者都差不多。
假设某函数图像如下：
定义中说“在上有定义”，这有两层意思：
上面这两层意思可以用下图来表示：
为了讲解方便，我们一般还是默认的定义域为。但为了强调，点依然用空心点来表示。
通过观察容易看出，越靠近点函数图像越接近图中的黑色虚线，所以可合理猜测时的极限为，也就是该黑色虚线：
随便给一个，以为中心作一个区间，也就是下图中的绿色区域。可以找到，使得在时，函数的图像都在绿色区域内，让我们用红色来表示：
不断缩小，总，使得在时，函数的图像都在绿色区域内：
上面所说的用数学符号来表示即为，，，时有。根据本节的定义，所以有。
（1），（2），（3）。
（1）证明。令（这是常数函数），，任取，时有，根据，所以。 （2）证明。令，，取，时有：
根据，所以。
（3）证明。令，，取，时有：
根据，所以。
根据，上述定理还可以推出：
