初等变换求秩
前面讲述了秩是什么，本节课来解决，如何求一个矩阵的秩。
因为行秩=列秩=秩，只要找出矩阵的行(列)向量的最大线性无关组就能得到矩阵的秩。
对于一般的矩阵：
首先它形式很复杂，其次也没有什么几何意义，我们怎么求出它的秩呢？
如果我告诉你，它和
的秩相同，就可以一眼看出它的秩为3。。
因此，求秩的思路就是：
右边的矩阵看着像是阶梯，故称为阶梯矩阵。
首先回答一个问题，如何才能变换一个矩阵，但不让它的秩改变？
2.1 理论基础
根据秩的性质，当
因此，只需要左乘或者右乘若干个满秩矩阵，把
理论基础准备好以后，准备开始化简矩阵。
以一个具体的矩阵为例，举一个简单点的，试求：
的秩。
3.1 目的
我们的目的就是要将矩阵化为阶梯形式,即:
要达到这个目的，我们只需要三种变换，都是满秩的：
3.2 单位矩阵
单位矩阵，是什么都不变的矩阵。
所有的初等变换都以单位矩阵为基础。
3.3 对换矩阵
首先，调换二三行顺序，让非零元在零元的上方。
怎么完成这个操作呢？我把单位阵对调下二三行，就得到了对换矩阵：
很显然对换矩阵是满秩矩阵，不会改变矩阵的秩。
3.4 倍加矩阵
3.5 第一次倍加变换
下一步，希望把
通过第一行和第三行的帮助来改变第二行的值：
Created with GeoGebra
对这个例子而言，只需要
3.6 第二次倍加变换
再将
再做一次倍加变换，就能将矩阵化为阶梯形式，只是这次改变的是第三行：
此时可以很明显的看出矩阵的秩为2。
3.7 倍乘变换
除了找出矩阵的秩，有时还需要将矩阵的主元单位化。
继续刚刚的例子就是:
第二行主元单位化。
具体到例本身子，只需要对单位阵进行
很显然倍加矩阵也是满秩矩阵，不会改变矩阵的秩。
至此，经过三者通力合作走到了目标：
3.8 总结
3.8.1 初等行变换
刚刚我们一共介绍了三种变换。
-
对换变换：顾名思义
行互换记为： -
倍加变换：把某行乘以一个数再加到另外一行上去第
行加上第 行的两倍记为： -
倍乘变换：把某一行的所有元素乘以同一个非零数第
行乘以2记为：
这三种变换我们称为初等行变换。
3.8.2 初等行矩阵
初等行变换所用到的矩阵，都可以通过对单位阵做相应的变换得到，称为初等行矩阵。
以三阶矩阵为例，初等行矩阵为：
初等列变换的矩阵，同学们可以自己推一下这个结论。
线性代数中，初等矩阵（又称为基本矩阵）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个
4.1 阶梯形矩阵
什么是阶梯形矩阵:就是可画出一条从第一行某元左方的竖线开始到最后一列某元下方的横线结束的阶梯线，它的左下方的元全为0.
竖线右方的第一个元为非零元，称为该非零行的先导元素。
它的严格定义如下:
非零矩阵若满足:
-
非零行在零行的上面。
-
某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边。
-
某一先导元素所在列下方元素都是零。
当矩阵化为阶梯形后，矩阵的每一非零行都是线性无关的。因此:
矩阵的秩=非零行的行数
比如刚刚的:
非零行有三行，因此此矩阵的秩为3。
进一步，若
-
非零行的先导元素为1
-
先导元素所在的列的其它元均为0
下面两个就为行最简形矩阵
4.2 单位阵
对行最简形矩阵再施以初等列变换,可变成一种形状更简单的形式,称为标准型。其特点是左上角是一个单位矩阵，其余元全为0
最简矩阵通过列初等变换，可化为更简单的矩阵，称为标准型，例如：
将矩阵
满秩矩阵
矩阵
已知
则
左乘初等矩阵可以看作初等行变换:
已知
则
已知
则
设
得到:
已知
以上答案都不正确。
将
整理一下：
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