这个定义其实就说了两个意思：

• 猜测：根据的特点，猜测极限为某实数
• 验证：然后想办法去验证上述猜测的正确性

这两个意思可以借助之后的例子来进一步理解。

先说猜测，对应定义中的“如果存在实数”。因为这里没有说明如何求出，所以只能根据的特点，猜测极限为某实数。具体怎么猜测，在后面的课程中会有更详细的阐述。

比如下图是某的图像，可以看出该不断地逼近图中灰色的平行于轴的虚线，所以可以合理地猜该虚线即为极限：

然后再说验证，对应定义中的“对于任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数，使得对所有的时，有”。这里有好几层意思，需要一一讲解。

首先可以随便给一个正实数，以为中心作一个区间，也就是下图中的绿色区域。可以看到，前 3 个点在绿色区间外，之后的点都在绿色区间内，在绿色区域内的点让我们用红色来表示：

如果用数学来表述上图的话，那就是令，当时，始终有：

如果对极限的猜测是正确的，那么无论如何缩小，也就是无论如何缩小绿色区域，始终只有有限个点在此区间外。也就是说，总能找到合适的，使得当时，都有：

如果对极限的猜测是错误的，随着正实数的缩小，会有无数个点在此区间外，也就是说找不到合适的，使得当时有：

这里需要强调的是，验证的关键在于，是否有无数个点在区间外。比如下面的情况，当正实数足够小时，可以看到始终有无数个点在区间内，但更重要的是会有无数个点在区间外，这说明该猜测是错误的：

再仔细看一下上图，分为了两个部分，各自的趋势并不一样，所以随便怎么猜测都是错误的，此时极限并不存在。