若函数在区间上有的，那么称该函数在上的是 光滑 的。
有的意味着，的的斜率是连续变化的。从几何上观察的话，就是当点变化时，该点的在顺滑地移动，如下图所示。该函数曲线看上去也符合我们对“光滑”的直觉。
这里来看一个反例，比如：
该函数的曲线在点附近看着并不光滑（剧烈地震荡），如下图所示。
该函数的如下，其在点。
若函数在区间上是光滑的，那么定义该函数在上的长度为：
若定义 弧微分 为，那么上式可以简写为。
这里通过举例来说明下为什么要这样定义。下面的分析思路和介绍时差不多，有疑惑的话可以回看一下。
如下图所示，先把切成份，仔细观察某子区间的弧长。
在区间上随便挑选一点，作出该点的切线，如下图所示。
按照下述规则作出直角三角形，其图像如下图所示。
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斜边为该切线在区间上的一段，记作
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底边记作，其值为
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高记作，因为切线的斜率为，所以有
所以可算出斜边的长度，也就是切线段的长度如下：
根据微积分“以直代曲”的思想，可认为弧长近似等于切线段长度，即：
那么之间的弧长可以近似为某种：
令，因为函数在区间上光滑，即在区间上，根据，所以时上述的极限存在，也就是。所以定义：
用于近似弧线段的切线段，称为该弧线段的，简称弧微分，记作。所以弧长公式可以理解为弧微分之（积分）和：
已知参数方程，若、在区间上存在且，存在且的反函数，以及，那么该参数方程在区间上的弧长为：
其中就是参数方程的 弧微分 。
根据，可算出上述参数方程的弧微分为：
所以该参数方程在区间上的弧长为：
已知极坐标方程，若在上存在且，那么该极坐标方程在区间上的弧长为：
其中就是极坐标方程的 弧微分 。
由直角坐标与极坐标的关系，可得以为参数的参数方程：
若该参数方程满足上面参数方程的弧长定理的条件，则弧微分为：
所以该极坐标方程在区间上的弧长为：
