结合上以及之前证明过的，所以有：

设和分别是函数在区间上的和，根据上面定积分的最大值、最小值定理，有：

即介于和之间，又函数在区间上，根据可知，使得：

        （2）证明使得。这里需要分情况讨论：

• 若在上为常函数，即，则根据以及可得：

  因为，所以任选都可使得

• 若对于，有为以及为，结合（1）中的结论所以有：

  不妨设，根据所以使得

• 若为端点，且点为端点，比如为（即），且使得，结合上以及可得：

  可以证明只有当时上式才能成立，不过这是常函数，在上面已经讨论过了。若不是常函数会导出矛盾，设不是常函数，则必然使得，因为在区间上，根据，在和之间一定存在某个子区间，使得时有，如下图所示。

  令，则在且有，可知，根据，有：

  因为：

  根据上面的分析和可推出：

  所以，与矛盾。同样的方法可以去讨论、为各种的情况，这里不再赘述

综上，使得。