上面所描述的可以图示如下：

容易知道，点、点和点唯一确定一个圆，标记其半径为。也唯一确定一个三角形，顶点、、的对边分别标记为、、，如下图所示。

该圆实际上是的外接圆，假设的面积为，根据外接圆半径公式可得，所以只要算出了、、以及就可以求出，下面分别来计算。

上述三边可以用如下来表示，这些就是要求的的边长：

其中边长、可以围成如下图所示的平行四边形，要求的的面积是平行四边形面积的一半。

平行四边形的可通过算出，即：

注意到是包含正负号的，所以平行四边形的面积需要加上绝对值：

因为的面积为平行四边形面积的一半，因此：

至此可以得到：

上下同除以可得：

之前分析过，将两侧的点不断靠近点，最终得到圆就是曲率圆，如下面的动图所示。也就是当时，上述圆的半径就会趋于曲率圆的半径，即有。

所以下面来计算，先分别求出各项的极限，首先：

然后：

同理：

最后还有：

所以可得：

        （2）求出曲率圆的圆心。假设曲率圆的圆心坐标为，半径为，则其满足如下方程：

通过可求出上述方程的导函数：

又知道曲率圆和曲线在点，有相同的切线（这个结论应该也不反直觉，这里不做证明）：

根据曲率圆过点，和曲线在点有公共切线，可以联立两个方程：

消去后可得：

因为曲率圆是曲线的近似，所以容易理解圆心总在曲线凹的一侧，那么当的时候曲线为，必有：

同样当的时候曲线为，必有：

总之，与异号，因此：

回代：

所以最终得到密切圆的圆心为：