曲率

马同学

曲率

1 圆的曲率

定义 .对于半径为 $r$ 的圆， $K=\frac{1}{r}$ 称为该圆的曲率（Curvature）。

圆的曲率是对圆的弯曲程度的描述。如下图所示，可以看到圆的半径越小的圆的弧越弯曲，也就是圆的曲率越大。

2 曲线的曲率

定理 .已知函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 点有二阶导数 $f''(x_0)$ ，且 $f''(x_0)\ne 0$ ，则此点有曲率圆（Osculating circle），也称为密切圆。
若用 $(\alpha,\beta)$ 表示该曲率圆的圆心，则 $\alpha$ 和 $\beta$ 值为：
$\begin{cases} \alpha=x_0-\frac{f'(x_0)\left[1+\big(f'(x_0)\big)^2\right]}{f''(x_0)}\\ \\ \beta=f(x_0)+\frac{1+\big(f'(x_0)\big)^2}{f''(x_0)} \end{cases}$
该曲率圆的半径 $r$ 称为曲率半径，其值为：
$r=\frac{\left[1+\Big(f'(x_0)\Big)^2\right]^\frac{3}{2}}{\left|f''(x_0)\right|}$
函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 点的曲率（Curvature） $K$ 定义为该曲率圆的曲率，即：
$K=\frac{1}{r}=\frac{\left|f''(x_0)\right|}{\left[1+\Big(f'(x_0)\Big)^2\right]^\frac{3}{2}}$