这里举例说明下上述定义，比如下面两幅图中的函数就分别是凹的和凸的。

下面来具体解释一下，以上图中左侧的凹函数为例。假设该函数为，任取，此两点对应的函数值分别为。那么：

• 就是的中点
• 是上述中点对应的函数值
• 是上述中点在连线上的值（连线所在的直线函数为：

  代入中点，也就是令可得：

  所以说是中点在连线上的值

  ）
• 所以说的就是，中点对应的函数值在连线值的下方

因为的任意性，所以实际上说的就是在上，函数曲线都在连线的下方：

凸函数的情况也是一样的，只是说明了函数曲线都在连线的上方，这里就不再赘述了。

我们可通过如下的逻辑链条来理解该定理：

这里举例说明下上述逻辑链条。比如下图所示的函数就满足二阶，这意味着是，我们可以通过观察不同点的来验证这一点（微分的斜率就是）：

• 为金黄色时导数小于 0
• 为紫色时，也就是闪烁时导数等于 0
• 为红色时导数大于 0

确实从图像上也可以看出，该函数是。的情况也是一样的，这里就不再赘述了。