设函数在处,且在某去心邻域内,则:(1)若时有,而时有,则是函数的 一个;
(2)若时有,而时有,则是函数的 一个;
(3)若时,的符号保持不变,则在处没有。
下面就情况(1)予以证明,其余以此类推。根据,结合(1)中的条件可推出:所以时有,即是函数的 一个。
以上的三种情况可通过下图来举例说明。
为了方便理解,这里就上图中的情况(1)再进行下说明。如下图所示,可以看到:
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点左侧的倾斜向上,也就是意味着此时
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点右侧的倾斜向下,也就是意味着此时
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是函数的 一个
所以符合函数极值的第一充分条件中情况(1)的结论。