如果函数在处具有阶，那么存在的一个，对于该内的任一，有：
其中。
下述证明完全没有涉及到该证明产生的思路，所以不少同学看了都会懵。不过为了课程的完整性还是先抄录在这里，后面会换一种更易懂的方式来进行讲解。令：
代入，容易验证：
令，根据上面得到的，所以：
由于在处有阶，根据，因此必在的某内有阶，从而也在该某内有阶，反复应用，可得：
根据，因此有，定理证毕。
该定理最重要的就是如下等式。该等式也被称为阶 泰勒公式 （Taylor's Formula），其中的多项式部分被称为次 泰勒多项式 （Taylor's polynomial），而被称为 余项 （Remainder）：
为了方便之后的讲解，这里用来表示次泰勒多项式，即令️：
那么泰勒公式说的就是：
如果函数在的某个内具有阶，那么对任一，有：
其中：
这里是与之间的某个值。
令：
然后假设，由条件可知，在内有阶，且（根据假设可知：
所以：
同样的，可算出。
）：
对函数和在以及为端点的区间上应用，可得：
因为是变量，所以也是变量，所以再对函数及在以及为端点的区间上应用，可得：
如此反复，经过次后可得：
注意到（因为），所以：
“泰勒定理 1”和“泰勒定理 2”，两者大同小异，这里进行一下比较：
为了区分，也称作 皮亚诺余项 （Peano form of the remainder）；而被称作 拉格朗日余项 （Lagrange form of the remainder）。
