因为未定式有很多种类型,又因为极限的种类很多,所以洛必达法则有非常多的形式,下面罗列其中的三种形式。
(1)
(2)
则
(2)可以额外证明一下,
根据
所以对于
同理可得
下面通过图形来解释下上述定理。假设下面就是满足条件的两个函数
因为
我们知道切线(也就是
所以,在
很显然,
(1)
(2)
(3)
则
根据条件
又根据条件,
(2)运用
满足
根据
对上式两端求极限
相比于“洛必达法则的第一种形式”,上述定理条件更宽松,适用范围更广,所以称为“洛必达法则的加强形式”。
(1)
(2)
(3)
则
可以看到和“洛必达法则的加强形式”非常相似,只是由于极限过程不同,带来了一些细节上的变化。